アフィン変換

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アフィン変換

線形変換と平行移動を合成したもの：

y = Ax + b

(8)

をアフィン変換という．アフィン変換の特徴は，直線を直線に移すことである．２点 x₁, x₂ を通る直線の式は

$\begin{displaymath} \bm{x} = \lambda \bm{x}_1+\mu \bm{x}_2 , \quad \lambda+\mu=1 \end{displaymath}$

(9)

である．

$\begin{eqnarray*}\bm{y}_1 &=& A\bm{x}_1 + \bm{b} \\ \bm{y}_2 &=& A\bm{x}_2 + \bm{b} \end{eqnarray*}$

とすると，(8)は

$\begin{eqnarray*}\bm{y} &=& A(\lambda \bm{x}_1+\mu \bm{x}_2) +\bm{b}\\ &=& \la... ...+ \mu (A \bm{x}_2+ \bm{b})\\ &=& \lambda \bm{y}_1+\mu \bm{y}_2 \end{eqnarray*}$

となるからである．

さらにまた，線分の比(内分点，外分点など)は保存される．とくに，

[定理７] アフィン変換によって，重心は保存される．すなわち

$\begin{displaymath}\bm{y}_i = A \bm{x}_1 \quad (i =1, 2, \cdots, N) \end{displaymath}$

とするとき

$\begin{displaymath}\bm{x}_G = \frac{\sum_i \bm{x}_i m_i}{\sum_i m_i} \end{displaymath}$

は

$\begin{displaymath}\bm{y}_G = \frac{\sum_i \bm{y}_i m_i}{\sum_i m_i} \end{displaymath}$

に写される．すなわち

y_G = Ax_G +b

(10)

が成立する．

<証> 明らかである．

[定理８] 直角柱を，一つの平面

$\begin{displaymath}\Pi : \quad f(\bm{x}) =\bm{a}\cdot\bm{x} + b \end{displaymath}$

で切った部分の体積は，

$\begin{displaymath}V = f(\bm{x}_G)\cdot \vert G\vert \end{displaymath}$

で与えられる．ここに G は直角柱の底面の図形，|G| はその面積，x_G は図形 G の重心である(図24)．

<略証> G の分割を

$\begin{displaymath}\Delta S_1, \Delta S_2, \cdots, \Delta S_N \end{displaymath}$

とすると

$\begin{eqnarray*}V &=& \sum_i f(\bm{x}_i) \vert\Delta S_i\vert \\ &=& f\left(\... ...}{\sum_i \vert\Delta S_i\vert}\right) \sum_i\vert\Delta S_i\vert \end{eqnarray*}$

$\begin{displaymath}% latex2html id marker 1795 \therefore \quad V = f(\bm{x}_G) \vert G\vert \quad \rule[0mm]{2mm}{3.5mm} \end{displaymath}$

**図 24:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{fig24.eps}}$

この変種として，柱体を二つの平面， $\Pi_1, \Pi_2$ で切ったとき，その間の部分の体積は

$\begin{displaymath} \vert\bm{x}_G^2 - \bm{x}_G^1\vert\cdot\vert G\vert \end{displaymath}$

(11)

で与えられることが分かる．ここに

$\begin{eqnarray*}\bm{x}_G^i &:& \Pi_i 上の切口図形の重心 \\ \vert G\vert &:& 側辺に垂直な平面による切口図形の面積 \end{eqnarray*}$

である．

(11) 式の一番簡単な例が台形の面積である．

**図 25:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{fig25.eps}}$

A, B を側辺の中点，h を高さとすると，

$\begin{displaymath}面積 = {\rm AB} \times h \end{displaymath}$

である．

これを少し変形すると，円環の面積を求める公式となる．

**図 26:**
$\scalebox{0.5}{\includegraphics{fig26.eps}}$

$\begin{displaymath}面積 = (点線の円周) \times (r_2-r_1) \end{displaymath}$

これは

$\begin{displaymath}2\pi\left(\frac{r_1+r_2}{2}\right)\cdot(r_2-r_1) =\pi r_2^2 -\pi r_1^2 \end{displaymath}$

である．

とくに扇形の面積 S については

**図 27:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{fig27.eps}}$

$\begin{eqnarray*}S &=& (点線部分の長さ)\times (r_2-r_1)\\ &=& \theta\left(\frac... ...r_2-r_1)\\ &=& \frac{1}{2}\theta r_2^2 -\frac{1}{2}\theta r_1^2 \end{eqnarray*}$

である．とくに

$\begin{displaymath}\theta \rightarrow 0, \quad r_2 \rightarrow r_1=r \end{displaymath}$

の極限の近くでは

$\begin{displaymath}dS = rd\theta dr \end{displaymath}$

となる．これは極座標表示の場合の面積エレメントである．

３次元における例としては，図２５のトーラスの体積の計算がある．

**図 28:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{fig28.eps}}$

$\begin{eqnarray*}体積 &=& (半径 b の円の円周)\times (半径 a の円の面積)\\ &=& 2\pi b \times \pi a^2 = 2\pi^2 a^2 b \end{eqnarray*}$

となる．

勿論これらの例は，台形を除いて，定理８あるいは (11) 式が無条件に適用できるというわけではない．結果がそうなっているに過ぎない．ただ結果を覚え，それを納得するための参考となるというだけのことである．

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Shiro Sawada 平成12年4月25日