物理的な証明

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物理的な証明

この法則の証明であるが，S が原点を中心とする球面であるときは簡単である．S 上で E はその大きさは一定で，球面に垂直な外向きベクトルである．よって

$\begin{eqnarray*}\int_S \bm{E}\cdot d\bm{S} &=&\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}... ...}{4\pi r^2\epsilon_0}\times 4\pi r^2\\ &=& \frac{Q}{\epsilon_0} \end{eqnarray*}$

と積分を計算するまでもなく，代数的計算で答えがでる．そして，その答えは球の半径には無関係であることまで分る．

[補題１] S が，電荷が存在する点を原点とする球面の場合，半径には関係なく，(1)式が成立する． $\diamondsuit$

このあたりまでは，学生も余り抵抗を感じることなく理解できるのではないだろうか．しかし，S が任意の閉曲面に変るあたりから，迷いが生じる．自分もそうであった．そこで物理屋は，電気力線という巧妙な方法を用いて，物理的直感で逃げてしまう．

[定義１]

(1)

電気力線とは，電界を流れの場と見做したときの，流線のことである．

(2)

$\Delta S$ という微小面積を通過する電気力線の数は

$\begin{displaymath} \Delta N = \bm{E}\cdot\Delta\bm{S} \end{displaymath}$

(2)

であると定める． $\diamondsuit$

この定義から直ちに，次の結果が出る．

[補題２] 電荷を包む閉曲面 S を通る電気力線の数 N は

$\begin{displaymath} N = \int_S \bm{E}\cdot d\bm{S} \end{displaymath}$

(3)

で与えられる． $\diamondsuit$

さて，点電荷 Q によって生じる電界の電気力線は，Q を通る半直線群であるから，S が球面であろうとなかろうと，N の値は変らない．このことは直感的に明らかであろう．よって

$\begin{displaymath} N = \frac{Q}{\epsilon_0} \end{displaymath}$

(4)

が得られる．これで (1)式が証明できた．ガウスの法則は

[ガウスの法則の変形] 点電荷 Q から出ていく電気力線の総数 N は

$\begin{displaymath} N = \frac{Q}{\epsilon_0} \end{displaymath}$

である． $\diamondsuit$
と表現することもできる．

これは，物理的直感をいかしたうまい説明で，高専の低学年には，この程度に止めておくのが賢明であろう． (西巻正郎：電気磁気；森北出版など参照)

Shiro Sawada 平成12年4月25日