やや数学的な証明

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やや数学的な証明

やや進んだ電磁気学の教科書では，ベクトルの積分が使われている．その段階でのガウスの法則の証明は，図1 を用いて，次のように実行される．

**図 1:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{g1.eps}}$

$\begin{displaymath} \int_S \bm{E}\cdot d\bm{S} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \int_S\frac{\bm{e}}{r^2}\cdot d\bm{S} \end{displaymath}$

(5)

ここで，n を閉曲面 S の外向き法線ベクトルとする．このとき

$\begin{displaymath} d\bm{S} =\bm{n} dS, \quad dS_n = \cos\theta dS \end{displaymath}$

(6)

であるとすると

$\begin{eqnarray*}% latex2html id marker 1441 (\ref{eq:gauss5})式 &=& \frac{Q}{4\... ...^2}\cdot d S_n \\ &=& \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \int_{S_0} d S_0 \end{eqnarray*}$

ここに，S₀ は単位球であるから

$\begin{displaymath}= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} 4\pi = \frac{Q}{\epsilon_0} \end{displaymath}$

となる．

この証明で，一番気になるところは (6)式である．図2 のように円柱ならともかく，円錐では， (6)式は正確には成立しない．

**図 2:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{g2.eps}}$

このことを物理屋さんに問い質すと，いや誤差は高次微小量であるから，最終結果には影響はないと，こともなげに答えるが，内心忸怩たるものがあるのは，その表情から伺える．

Shiro Sawada 平成12年4月25日