数学的な証明

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数学的な証明

ここのところを数学を少しかじった人に尋ねると，曲面 S を

$\begin{displaymath}S:\quad \bm{r} = \bm{r} (u, v), \quad (u,v) \in D \end{displaymath}$

とすると，ベクトル場の曲面 S 上の積分は

$\begin{displaymath} \int_S \bm{E}\cdot d\bm{S} = \int\int_D \bm{E} \cdot \left(... ...rtial u}\times \frac{\partial \bm{r}}{\partial v} \right) dudv \end{displaymath}$

(7)

で定義される．これは定義だから，とやかく言う必要はないということになる． ( (7)式については，大日本図書；応用数学など参照)

それでは (7) 式にしたがって，計算してみよう．

r = r(u,v)e(u,v)

と表しておいて (7)式の計算にとりかかろう．

$\begin{displaymath}\bm{r} = \bm{e}(u,v), \quad \vert\bm{e}\vert=1 \end{displaymath}$

は，単位球面を表す式である．

$\begin{displaymath}\bm{E} \cdot \left( \frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times... ...al u}\times \frac{\partial (r\bm{e})}{\partial v} \right] dudv \end{displaymath}$

ところで

$\begin{displaymath}\frac{\partial (r\bm{e})}{\partial u}\times \frac{\partial (r... ...artial v}\bm{e} + r \frac{\partial \bm{e}}{\partial v} \right) \end{displaymath}$

であるから，これに e を掛けると，スカラ３重積(行列式)の性質によって，e をなまに含む項は消え，

$\begin{eqnarray*}&&\frac{\bm{e}}{r^2}\cdot \left[ \frac{\partial (r\bm{e})}{\par... ...e}}{\partial u}\times \frac{\partial \bm{e}}{\partial v} \right) \end{eqnarray*}$

となる．よって

$\begin{displaymath} \int_D \bm{E} \cdot \left( \frac{\partial \bm{r}}{\partial ... ...rtial u}\times \frac{\partial \bm{e}}{\partial v} \right) dudv \end{displaymath}$

(8)

を得る．すなわち，閉曲面 S 上の積分は，単位球面上の積分に等しくなるのである．このとき

$\begin{displaymath}\bm{e}\cdot \left( \frac{\partial \bm{e}}{\partial u}\times \frac{\partial \bm{e}}{\partial v} \right) du dv = dS_0 \end{displaymath}$

であって，これは又立体角(の要素)でもある．

もう少し計算を続けよう．

$\begin{eqnarray*}\bm{e}(u,v) &=&\{ \sin u \cos v, ~~\sin u \sin v, ~~\cos u\}\\ D &:& 0\leqq u \leqq 2\pi, \quad 0\leqq v \leqq \pi \end{eqnarray*}$

と選ぶと

$\begin{displaymath}\frac{\partial \bm{e}}{\partial u}\times \frac{\partial \bm{e}}{\partial v} \end{displaymath}$

は，球面に対して，外向きのベクトルとなる，すなわち e と同方向，同じ向きのベクトルとなるから

$\begin{displaymath}% latex2html id marker 1812 (\ref{eq:gauss8})式 = \frac{Q}{4\... ...0}\int_0^\pi \sin u du \int_0^{2\pi} dv = \frac{Q}{\epsilon_0} \end{displaymath}$

となって，前と同じ結果を得る．

Shiro Sawada 平成12年4月25日