行列式と面積・体積

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行列式と面積・体積

図3のように，二つのベクトル a, b で作られる平行四辺形の面積を

f(a,b)

と書くことにする．

**図 3:**
$\scalebox{0.5}{\includegraphics{fig3.eps}}$

面積の持っている基本的な性質を列挙すると

(i)

まず，図4のように，

**図 4:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{fig4.eps}}$

まず，一辺が２倍，３倍， $\cdots$ となると，面積も２倍，３倍， $\cdots$ となる．すなわち

$\begin{displaymath}f(\lambda\bm{a},\bm{b}) = \lambda f(\bm{a},\bm{b}) \end{displaymath}$

が成り立つことが分かる．これは b についても同じである．

(ii)

一辺が二つのベクトルの和であるとき，すなわち a=a₁ +a₂ であるとき，

**図 5:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{fig5.eps}}$

図5から分かるように，面積も和となり，

f(a,b) = f(a₁,b) +f(a₂,b)

が成り立つ．b についても同じである．

(iii)

さらに，a と b が一致すれば，面積が零となること，すなわち

f(a,a) = 0

は明らかである．

(iv)

また，面積の単位としては，a，b が直交する単位ベクトルのとき，例えば，i，j のとき

f(i,j) = 1

と約束するのは，当然であろう．

ただ，注意しておかねばならないことは，

$\begin{eqnarray*}0 &=& f(\bm{a}+\bm{b}, \bm{a}+\bm{b})\\ &=& f(\bm{a},\bm{a}) +... ...}) + f(\bm{b},\bm{b})\\ &=& f(\bm{a},\bm{b}) + f(\bm{b},\bm{a}) \end{eqnarray*}$

$% latex2html id marker 2037 $\therefore f(\bm{b},\bm{a})=-f(\bm{a},\bm{b})$$

となること，すなわち，面積に符号が付くことである．

以上をまとめると，

[面積の基本的性質]

(I): $f(\lambda\bm{a}_1+\mu\bm{a}_2, \bm{b}) = \lambda f(\bm{a}_1,\bm{b}) +\mu f(\bm{a}_2,\bm{b})$ b についても同様． $\lambda, \mu$ は実数．
(II): f(a,a) = 0
(III): f(i,j) = 1，ここに i, j は標準基底．

となる．

この３つの性質によって， f(a,b) の値は完全に定まってしまうのである．事実，

$\begin{eqnarray*}\bm{a} &=& \left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\end{array}\right) ... ...in{array}{c}b_1\\ b_2\end{array}\right) = b_1\bm{i} +b_2\bm{j} \end{eqnarray*}$

とすると

$\begin{eqnarray*}f(\bm{a},\bm{b}) &=& f(a_1\bm{i}+ a_2\bm{j},b_1\bm{i}+b_2\bm{j}... ...gin{array}{cc} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{array} \right\vert \end{eqnarray*}$

となるからである．

この計算から分かるように， f(a,b) は２次の行列式 $\det(\bm{a},\bm{b})$ に等しい．

次に３次元空間の体積について考える．図6のような，３次元の３つのベクトル a, b, c で作られる，平行６面体：

**図 6:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{fig6.eps}}$

の体積を f(a,b,c) と書く．このとき，面積の基本的性質と全く同様な次の事実が成り立つ．

[体積の基本的性質]

(I): $f(\lambda\bm{a}_1+\mu\bm{a}_2+ \nu\bm{a}_3, \bm{b}) = \lambda f(\bm{a}_1,\bm{b},\bm{c}) +\mu f(\bm{a}_2,\bm{b},\bm{c}) + \nu f(\bm{a}_3,\bm{b},\bm{c})$ が成り立つ． b, c についても同様．
(II): a,b,c のどれか２つが一致すれば体積は零となる．すなわち $f(\bm{a},\bm{a}, \bm{c}) = 0, f(\bm{a},\bm{b}, \bm{b}) = 0, \cdots$ など．
(III): i, j, k を空間の標準基底とすると f(i,j,k) = 1が成り立つ．

<注> (II) は次の性質と同値である．

(II)': f(a,b, c) の中のどれか２つのベクトルを入れ換えると符号が変る．すなわち $f(\bm{b},\bm{a}, \bm{c}) = - f(\bm{a},\bm{b}, \bm{c}), \cdots$ など．

この３つの基本的性質によって f(a,b, c) は完全に定まる．実際，

$\begin{displaymath}\bm{a} = \left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{... ...t( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ c_3 \end{array} \right) \end{displaymath}$

のとき，

f(a,b, c) = f(a₁i+a₂j+a₃k,b₁i+b₂j+b₃k, c₁i+c₂j+c₃k)

これを，上の基本的性質を用いて変形していくと

= (a₁b₂c₃+ a₂b₃c₁+a₃b₁c₂-a₁b₃c₂-a₂b₁c₃-a₃b₂c₁) f(i,j, k)

となる． f(i,j, k)=1 であるから， f(a,b, c) の値は完全に定まり，それは， a,b, c から構成される行列式：

$\begin{displaymath}\det(\bm{a},\bm{b}, \bm{c}) = \left\vert \begin{array}{ccc} ... ... a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right\vert \end{displaymath}$