線形変換による図形の変形

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線形変換による図形の変形

２点 p, q を通る直線の方程式は

$\begin{displaymath}\bm{x} =\lambda \bm{p} + \mu \bm{q}, \quad (\lambda +\mu =1) \end{displaymath}$

である．これに線形変換 A を施すと

$\begin{displaymath}A \bm{x} =\lambda(A \bm{p}) + \mu (A\bm{q}) \end{displaymath}$

であるから，２点 Ap, Aq を通る直線に写されることが分かる．

線形変換によって係数のスカラー量 $\lambda, \mu$ は何らかの影響も受けないのであるから，線分は線分に，また線分の内分点，外分点は対応する線分の同じ比をもつ内分点，外分点に写される．すなわち

[定理３] 線形変換によって，

(1): 直線は直線に，
(2): 線分は線分に写され，
(3): 内分点，外分点は保存される．

また，

(4): 平行線は平行線に移され，
(5): 平行四線形の内部は，平行四線形の内部に写される．

<証> (1),(2),(3) については，上に説明した通りである．(4) の証明：

二つのベクトル p, q が平行であることは

$\begin{displaymath}\bm{q} = \lambda \bm{p} \end{displaymath}$

となる実数 $\lambda$ が存在することである．これに変換 A を施すと，

$\begin{displaymath}A \bm{q} = \lambda A \bm{p} \end{displaymath}$

となるから．この結果から，平行四辺形は平行四辺形に写されることが分かり， (3) と組み合わせると (5) が得られる．

<注> 平行四辺形は線形変換によって，線分に押し潰されることがあるが，それも平行四辺形と見做している． $\diamondsuit$

次に図形の面積について考えてみよう．２辺が直行する単位ベクトル i, j である単位正方形を，線形変換 A で写すと，２つのベクトル

$\begin{displaymath}\bm{a} = A \bm{i}, \quad \bm{b} = A \bm{j} \end{displaymath}$

で作られる平行四辺形となる．

**図 7:**
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{fig7.eps}}$

このとき，変換の行列は

A = (a, b)

で与えられる．その上，第５回数学談話会で述べたように，この平行四辺形の面積は

$\begin{displaymath}\vert A\vert = \det A = \bm{a} \times \bm{b} \quad (２次元の外積) \end{displaymath}$

で与えられる．勿論ここでの面積は符合つきである．言い換えれば，単位正方形の面積は，変換 A によって， |A| 倍されたのである．

この事実は，一般の図形に対しても成り立つ．例えば，図8のような図形(斜線部分)が，変換 A によって |A| 倍されるのは明らかである．

**図 8:**
$\scalebox{0.8}{\includegraphics{fig8.eps}}$

一般の図形は，小さい正方形の和として，いくらでも精度よく近似できるから，それを変換 A で写した図形は，面積が |A| 倍されることが分かる．よって次の結果を得る．

[定理４] 一般の図形を G，その面積を ||G|| とする．これを線形変換 A で変換した図形 AG の面積を ||AG|| とすると

||AG|| = |A| ||G||

が成り立つ．ここに |A| は，線形変換 A に伴う行列式を表す． $\diamondsuit$

この事実と，行列式が面積を表すという事実を組み合わせると，行列式の積に関する良く知られた結果が得られる．

[定理５] A,B を同じ大きさの線形変換， |A|, |B| をそれに対する行列式とすると

|AB| = |A| |B|

が成立する．

<証> 定理４を認めれば，この事実は直感的には明らかであるが，以下では厳密な証明を与えておく．次元は３とする． B の列ベクトルを p, q, r とすると

AB = A(p, q, r) = (Ap, Aq, Ar)

となる．ここで

f(p, q, r) = |A(p, q, r)|

とおくと，これは面積の基本的な性質 I, II を満たしているので

f(p, q, r) = k(p, q, r) = k|B|

とかける．ここに，k は定数である．そこで

p = i, q=j, r=k

とおくと B = (i, j, k) は単位行列となるので

f(i, j, k) = k = |A|

となり，求める結果を得る．

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Shiro Sawada 平成12年4月25日